Аристова Е., Лобанов А.

AristovaEN

LobanovAI

Аристова Е. Н. , Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике. Аннотация к курсу лекций lectoriy

Maths-NumAnalysis-L01-Aristova-140903.02Лекция 1. Погрешности вычислений.Типы погрешностей. Источники ошибок в вычислительной математике. Погрешность при вычислении производных.
Maths-NumAnalysis-L02-Lobanov-140910.03Лекция 2. Методы решения СЛАУ (введение). Основные понятия, используемые при решении СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). Понятие нормы вектора и матрицы. Число обусловленности системы.
Maths-NumAnalysis-L03-Aristova-140917.03Лекция 3. Прямые решения СЛАУ. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса, LU-разложение, метод Гаусса с выбором ведущего (главного) элемента.
Maths-NumAnalysis-L04-Aristova-140924.02Лекция 4. Итерационные методы решения СЛАУ. Уравнение невязки. Итерационные методы решения СЛАУ: метод простой итерации, метод Зейделя, метод Якоби-Гаусса, метод последовательной верхней релаксации. Влияние ошибок округления на решения, получаемые итерационными методами.
Maths-NumAnalysis-L05-Aristova-141001.03Лекция 5. Достаточные условия сходимости итерационных методов решения СЛАУ. Метод Чебышева ускорения МПИ. Итерационные методы вариационного типа. Теоремы о достаточных условиях сходимости методов Якоби и Зейделя. Многочлены Чебышева. Итерационные методы вариационного типа.
Maths-NumAnalysis-L06-Aristova-141008.02Лекция 6. Итерационный методы вариационного типа (продолжение). Методы градиентного спуска: метод наискорейшего спуска, метод минимальных невязок, метод сопряжённых градиентов. Спектральные задачи: поиск максимального собственного числа; поиск собственного числа, ближайшего к нулю. Метод наименьших квадратов.
Maths-NumAnalysis-L07-Aristova-141015.02Лекция 7. Метод наименьших квадратов (продолжение). Интерполяция. Применение метода наименьших квадратов для нахождения обобщённого решения СЛАУ и для неточной интерполяции. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.
Maths-NumAnalysis-L08-Aristova-141022.02Лекция 8. Интерполяция.Альтернативное представление разделенной разности. Теорема о совпадении интерполяционных многочленов в форме Лагранжа и Ньютона. Погрешность интерполяции. Многочлены Чебышева и их свойства. Приведенные многчлены Чебышева. Оптимальный выбор узлов интерполяции.
Maths-NumAnalysis-L09-Aristova-141029.02Лекция 9. Интерполяция (продолжение). Слайпы. Погрешность интерполяции. Обусловленность задачи интерполяции. Константа Лебега. Сплайны: дефект сплайна, узлы сплайна и узлы интерполяции. Типы сплайнов. Решение задачи построения свободного сплайна.
Maths-NumAnalysis-L10-Aristova-141105.02Лекция 10. Интерполяция (продолжение) Методы определения одного корня уравнения. В-сплайны. Задача обратной интерполяции. Рациональная аппроксимация. Одноточечные и двухточечные методы определения одного корня нелинейного уравнения
Maths-NumAnalysis-L11-Aristova-141112.02Лекция 11. Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Метод Брента получения одного корня уравнения. Методы третьего и четвертого порядка сходимости получения одного корня уравнения. Сжимающие отображения. Теорема о сжимающем отображении. Обобщение метода Ньютона и Зейделя на случай системы нелинейных уравнений.
Maths-NumAnalysis-L12-Aristova-141119.02Лекция 12. Численные методы нахождения минимума функций одной или многих переменных. Методы нахождения минимума функции одной переменной: метод парабол и метод Брендта. Методы нахождения минимума функции многих переменных: метод покоординатного спуска, метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска и метод оврагов. Поиск минимума квадратичного функционала методом сопряженных направлений. Понятие сопряженного базиса и построение сопряженного базиса методом сопряженных плоскостей. Недостатки итерационных методов нахождения минимума функции многих переменных. Динамический метод нахождения минимума фукции многих переменных (метод установления).
Maths-NumAnalysis-L13-Aristova-141126.03Лекция 13. Решения СЛАУ методом наискорейшего спуска.Методы нахождения минимума функции одной переменной: метод парабол и метод Брендта. Методы нахождения минимума функции многих переменных: метод покоординатного спуска, метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска и метод оврагов. Поиск минимума квадратичного функционала методом сопряженных направлений. Понятие сопряженного базиса и построение сопряженного базиса методом сопряженных плоскостей. Недостатки итерационных методов нахождения минимума функции многих переменных. Динамический метод нахождения минимума фукции многих переменных (метод установления).
Maths-NumAnalysis-L14-Aristova-141203.02Лекция 14. Экстраполяция Ричардсона. Квадратура Гаусса. Несобственные интегралы. Экстраполяция Ричардсона (правило Рунге). Чебышёвские квадратуры. Квадратура Гаусса. Несобственные интегралы, их вычисление.
Maths-NumAnalysis-L15-Aristova-141217.01Лекция 15. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.Задача Коши. Разностная схема, основные определения. Исследование разностных схем на аппроксимацию и устойчивость.

Maths-NumAnalysis-L16-Aristova-150209.05Лекция 16. Исследование явных методов Рунге-Курты.Часть. Повторение пройденного материала. Исследование на устойчивость простейших разностных схем. Явные схемы метода Рунге-Кутты. Классический и вложенный методы Рунге-Кутты.
Maths-NumAnalysis-L17-Aristova-150216.03Лекция 17. Исследование явных методов Рунге-Курты. Часть 2.Порядок аппроксимации двустадийных явных методов Рунге-Кутты. Сильная и слабая устойчивость явных методов Рунге-Кутты, область устойчивости. Введение в жёсткие задачи.
Maths-NumAnalysis-L18-Aristova-150302.04Лекция 18. Решение жестких систем. Одношаговые и одноитерационные методы. Жёсткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование методов Рунге-Кутты. Методы Розенброка.
Maths-NumAnalysis-L19-Aristova-150309.02Лекция 19. Многошаговый методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.Схема CROS, многошаговые методы решения ОДУ. Формулы Адамса,формулы дифференцирования по частям. Устойчивость и аппроксимация многошаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
Maths-NumAnalysis-L20-Aristova-150316.03Лекция 20. Решение систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.Решение линейных и нелинейных краевых задач. Метод построения общего решения. Метод стрельбы. Метод прогонки.

Maths-NumAnalysis-L21-Aristova-150323.03Лекция 21. Решение нелинейных краевых задач. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.Решение нелинейных краевых задач с граничными условиями различного рода. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.
Maths-NumAnalysis-L22-Aristova-150330.05Лекция 22. Уравнения в частных производных и методы их решения.Основные уравнения в частных производных. Теория сходимости разностных схем в приложении к уравнениям в частных производных. Теорема Лакса-Рябенького-Филлипова. Устойчивость неэволюционных задач. Аппроксимация разностных схем с шаблоном. Аппроксимация для уравнения переноса. Условие Куранта-Фридрихса-Леви. Двухслойные разностные схемы. Обозначения А.А. Самарского.
Maths-NumAnalysis-L23-Aristova-150406.03Лекция 23. Устойчивость и монотонность двухслойных разностях схем. Устойчивость разностной схемы с весами для уравнения теплопроводности. Теоремы об устойчивости разностных схем с весами для уравнения теплопроводности. Устойчивость взвешенных схем для уравнения теплопроводности. Монотонность двухслойных разностных схем.
Maths-NumAnalysis-L24-Aristova-150413.03Лекция 24. Спектральный признак устойчивости. Уравнение переноса.Монотонность двухслойный схемы с весами для уравнения теплопроводности. Спектральный признак устойчивости. Схема Ричардсона. Схема для нелинейного уравнения теплопроводности. Исследование разностных схем для уравнения переноса на аппроксимацию и устойчивость. Схемы Эйлера и Лакса.
Maths-NumAnalysis-L25-Aristova-150420.05Лекция 25. Монотонность разностях схем для уравнения переноса.Схема Лакса-Вендроффа. Монотонность разностных схем для уравнения переноса. Первое дифференциальное приближение схемы Лакса-Вендроффа. Методы построения разностных схем. Построение схемы Бина-Уорминга. Бикомпактные схемы.
Maths-NumAnalysis-L26-Aristova-150427.03Лекция 26. Решение систем разностных уравнений гиперболического типа.Уравнение переноса. Уравнение Хопфа. Сильные и слабые разрывы. Схемы для квазилинейного уравнения переноса. Волновое уравнение.
Maths-NumAnalysis-L27-Aristova-150209.05Лекция 27. Акустическая система.Переход от волнового уранения к акукстической системе, построение разностной схемы и инвариантов Римана для уравнения акустики. Устойчивость разностных схем для уравнений эллиптического вида. Собственные числа и собственные значения разностного оператора Лапласа.
Maths-NumAnalysis-L28-Aristova-150511.04Лекция 28. Методы решения систем разностных уравнений для схемы "крест".Метод простой итерации. Метод простой итерации с оптимальным параметром. Чебышевское ускорение метода простой итерации. Трехслойное Чебышевское ускорение. Схема переменных направлений. Попеременно-треугольный метод решения разностных уравнений. Методы Якоби, Зейделя и метод последовательной верхней релаксации.
Maths-NumericalAnalysis-14L

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *

You may use these HTML tags and attributes: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>