Аристова Е. Н. , Лобанов А. И. Лекции по вычислительной математике. Аннотация к курсу лекций
Лекция 1. Погрешности вычислений.Типы погрешностей. Источники ошибок в вычислительной математике. Погрешность при вычислении производных.
Лекция 2. Методы решения СЛАУ (введение). Основные понятия, используемые при решении СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). Понятие нормы вектора и матрицы. Число обусловленности системы.
Лекция 3. Прямые решения СЛАУ. Правило Крамера. Метод обратной матрицы. Метод Гаусса, LU-разложение, метод Гаусса с выбором ведущего (главного) элемента.
Лекция 4. Итерационные методы решения СЛАУ. Уравнение невязки. Итерационные методы решения СЛАУ: метод простой итерации, метод Зейделя, метод Якоби-Гаусса, метод последовательной верхней релаксации. Влияние ошибок округления на решения, получаемые итерационными методами.
Лекция 5. Достаточные условия сходимости итерационных методов решения СЛАУ. Метод Чебышева ускорения МПИ. Итерационные методы вариационного типа. Теоремы о достаточных условиях сходимости методов Якоби и Зейделя. Многочлены Чебышева. Итерационные методы вариационного типа.
Лекция 6. Итерационный методы вариационного типа (продолжение). Методы градиентного спуска: метод наискорейшего спуска, метод минимальных невязок, метод сопряжённых градиентов. Спектральные задачи: поиск максимального собственного числа; поиск собственного числа, ближайшего к нулю. Метод наименьших квадратов.
Лекция 7. Метод наименьших квадратов (продолжение). Интерполяция. Применение метода наименьших квадратов для нахождения обобщённого решения СЛАУ и для неточной интерполяции. Полиномиальная интерполяция. Интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона.
Лекция 8. Интерполяция.Альтернативное представление разделенной разности. Теорема о совпадении интерполяционных многочленов в форме Лагранжа и Ньютона. Погрешность интерполяции. Многочлены Чебышева и их свойства. Приведенные многчлены Чебышева. Оптимальный выбор узлов интерполяции.
Лекция 9. Интерполяция (продолжение). Слайпы. Погрешность интерполяции. Обусловленность задачи интерполяции. Константа Лебега. Сплайны: дефект сплайна, узлы сплайна и узлы интерполяции. Типы сплайнов. Решение задачи построения свободного сплайна. Лекция 10. Интерполяция (продолжение) Методы определения одного корня уравнения. В-сплайны. Задача обратной интерполяции. Рациональная аппроксимация. Одноточечные и двухточечные методы определения одного корня нелинейного уравнения Лекция 11. Методы решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений. Метод Брента получения одного корня уравнения. Методы третьего и четвертого порядка сходимости получения одного корня уравнения. Сжимающие отображения. Теорема о сжимающем отображении. Обобщение метода Ньютона и Зейделя на случай системы нелинейных уравнений. Лекция 12. Численные методы нахождения минимума функций одной или многих переменных. Методы нахождения минимума функции одной переменной: метод парабол и метод Брендта. Методы нахождения минимума функции многих переменных: метод покоординатного спуска, метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска и метод оврагов. Поиск минимума квадратичного функционала методом сопряженных направлений. Понятие сопряженного базиса и построение сопряженного базиса методом сопряженных плоскостей. Недостатки итерационных методов нахождения минимума функции многих переменных. Динамический метод нахождения минимума фукции многих переменных (метод установления). Лекция 13. Решения СЛАУ методом наискорейшего спуска.Методы нахождения минимума функции одной переменной: метод парабол и метод Брендта. Методы нахождения минимума функции многих переменных: метод покоординатного спуска, метод градиентного спуска, метод наискорейшего спуска и метод оврагов. Поиск минимума квадратичного функционала методом сопряженных направлений. Понятие сопряженного базиса и построение сопряженного базиса методом сопряженных плоскостей. Недостатки итерационных методов нахождения минимума функции многих переменных. Динамический метод нахождения минимума фукции многих переменных (метод установления). Лекция 14. Экстраполяция Ричардсона. Квадратура Гаусса. Несобственные интегралы. Экстраполяция Ричардсона (правило Рунге). Чебышёвские квадратуры. Квадратура Гаусса. Несобственные интегралы, их вычисление. Лекция 15. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений.Задача Коши. Разностная схема, основные определения. Исследование разностных схем на аппроксимацию и устойчивость. Лекция 16. Исследование явных методов Рунге-Курты.Часть. Повторение пройденного материала. Исследование на устойчивость простейших разностных схем. Явные схемы метода Рунге-Кутты. Классический и вложенный методы Рунге-Кутты. Лекция 17. Исследование явных методов Рунге-Курты. Часть 2.Порядок аппроксимации двустадийных явных методов Рунге-Кутты. Сильная и слабая устойчивость явных методов Рунге-Кутты, область устойчивости. Введение в жёсткие задачи. Лекция 18. Решение жестких систем. Одношаговые и одноитерационные методы. Жёсткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование методов Рунге-Кутты. Методы Розенброка. Лекция 19. Многошаговый методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений.Схема CROS, многошаговые методы решения ОДУ. Формулы Адамса,формулы дифференцирования по частям. Устойчивость и аппроксимация многошаговых методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Лекция 20. Решение систем линейных и нелинейных дифференциальных уравнений.Решение линейных и нелинейных краевых задач. Метод построения общего решения. Метод стрельбы. Метод прогонки. Лекция 21. Решение нелинейных краевых задач. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.Решение нелинейных краевых задач с граничными условиями различного рода. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля.
Лекция 22. Уравнения в частных производных и методы их решения.Основные уравнения в частных производных. Теория сходимости разностных схем в приложении к уравнениям в частных производных. Теорема Лакса-Рябенького-Филлипова. Устойчивость неэволюционных задач. Аппроксимация разностных схем с шаблоном. Аппроксимация для уравнения переноса. Условие Куранта-Фридрихса-Леви. Двухслойные разностные схемы. Обозначения А.А. Самарского. Лекция 23. Устойчивость и монотонность двухслойных разностях схем. Устойчивость разностной схемы с весами для уравнения теплопроводности. Теоремы об устойчивости разностных схем с весами для уравнения теплопроводности. Устойчивость взвешенных схем для уравнения теплопроводности. Монотонность двухслойных разностных схем. Лекция 24. Спектральный признак устойчивости. Уравнение переноса.Монотонность двухслойный схемы с весами для уравнения теплопроводности. Спектральный признак устойчивости. Схема Ричардсона. Схема для нелинейного уравнения теплопроводности. Исследование разностных схем для уравнения переноса на аппроксимацию и устойчивость. Схемы Эйлера и Лакса. Лекция 25. Монотонность разностях схем для уравнения переноса.Схема Лакса-Вендроффа. Монотонность разностных схем для уравнения переноса. Первое дифференциальное приближение схемы Лакса-Вендроффа. Методы построения разностных схем. Построение схемы Бина-Уорминга. Бикомпактные схемы. Лекция 26. Решение систем разностных уравнений гиперболического типа.Уравнение переноса. Уравнение Хопфа. Сильные и слабые разрывы. Схемы для квазилинейного уравнения переноса. Волновое уравнение. Лекция 27. Акустическая система.Переход от волнового уранения к акукстической системе, построение разностной схемы и инвариантов Римана для уравнения акустики. Устойчивость разностных схем для уравнений эллиптического вида. Собственные числа и собственные значения разностного оператора Лапласа. Лекция 28. Методы решения систем разностных уравнений для схемы "крест".Метод простой итерации. Метод простой итерации с оптимальным параметром. Чебышевское ускорение метода простой итерации. Трехслойное Чебышевское ускорение. Схема переменных направлений. Попеременно-треугольный метод решения разностных уравнений. Методы Якоби, Зейделя и метод последовательной верхней релаксации.